3. Из точки А вне окружности проведена касательная АВ и секущая AD, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка АС, если CD=5, а длина отрезка касательной равна 6.

По теореме о касательной и секущей, квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть, то есть $$AB^2 = AC \cdot AD$$.

Известно, что $$AB = 6$$ и $$CD = 5$$. Тогда $$AD = AC + CD = AC + 5$$.

Подставим в формулу: $$6^2 = AC \cdot (AC + 5)$$.

$$36 = AC^2 + 5AC$$.

$$AC^2 + 5AC - 36 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$.

$$AC_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.

$$AC_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$.

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то $$AC = 4$$.

Ответ: AC = 4