257. Игральную кость бросили 8 раз. Известно, что шестёрка выпала трижды. Найдите вероятность того, что в первых 4 бросаниях: а) не было ни одной шестёрки; б) была ровно одна шестёрка; в) случилось две шестёрки; г) шестёрка выпала трижды.

Всего бросков 8, шестёрка выпала трижды. Нужно найти вероятность того, что в первых 4 бросаниях было 0, 1, 2 или 3 шестёрки.

а) В первых 4 бросаниях нет шестёрок. Значит, все 3 шестёрки выпали в последних 4 бросках. Количество способов выбрать 3 броска из 4 равно $$C_4^3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$$. Общее количество способов выбрать 3 шестёрки из 8 бросков равно $$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$$. Искомая вероятность $$P(0) = \frac{C_4^3}{C_8^3} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \approx 0.0714$$.

б) В первых 4 бросках ровно одна шестёрка. Количество способов выбрать 1 шестёрку из 4 равно $$C_4^1 = 4$$. Количество способов выбрать 2 шестёрки из последних 4 равно $$C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$. Искомая вероятность $$P(1) = \frac{C_4^1 \cdot C_4^2}{C_8^3} = \frac{4 \cdot 6}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$$.

в) В первых 4 бросках ровно две шестёрки. Количество способов выбрать 2 шестёрки из 4 равно $$C_4^2 = 6$$. Количество способов выбрать 1 шестёрку из последних 4 равно $$C_4^1 = 4$$. Искомая вероятность $$P(2) = \frac{C_4^2 \cdot C_4^1}{C_8^3} = \frac{6 \cdot 4}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$$.

г) В первых 4 бросках ровно три шестёрки. Количество способов выбрать 3 шестёрки из 4 равно $$C_4^3 = 4$$. Количество способов, что в последних 4 бросках нет шестёрок = 1. Искомая вероятность $$P(3) = \frac{C_4^3 \cdot 1}{C_8^3} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \approx 0.0714$$.

Ответ: a) 0.0714; б) 0.4286; в) 0.4286; г) 0.0714