256. Симметричную монету бросили 9 раз. Известно, что орёл выпал 6 раз. Найдите вероятность того, что среди первых 5 бросаний случилось ровно: а) 3 орла; б) 4 орла; в) 2 решки; г) 4 решки. Указание. Обратите внимание на то, что событие в п. г) невозможное.

Общее количество орлов 6, решек 3. Всего бросков 9.

а) Вероятность того, что среди первых 5 бросков выпало ровно 3 орла. В таком случае, среди последних 4 бросков должно выпасть 3 орла. Количество способов выбрать 3 орла из 5 равно $$C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$. Количество способов выбрать 3 орла из оставшихся 4 равно $$C_4^3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$$. Количество способов выбрать 6 орлов из 9 равно $$C_9^6 = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2} = 84$$. Искомая вероятность равна $$P(3) = \frac{C_5^3 \cdot C_4^3}{C_9^6} = \frac{10 \cdot 4}{84} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} \approx 0.476$$.

б) Вероятность того, что среди первых 5 бросков выпало ровно 4 орла. В таком случае, среди последних 4 бросков должно выпасть 2 орла. Количество способов выбрать 4 орла из 5 равно $$C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$$. Количество способов выбрать 2 орла из оставшихся 4 равно $$C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$. Искомая вероятность равна $$P(4) = \frac{C_5^4 \cdot C_4^2}{C_9^6} = \frac{5 \cdot 6}{84} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14} \approx 0.357$$.

в) Вероятность того, что среди первых 5 бросков выпало ровно 2 решки. Это означает, что выпало 3 орла. Данный пункт аналогичен пункту а). Искомая вероятность равна $$P(2 решки) = \frac{10}{21} \approx 0.476$$.

г) Невозможно, так как всего три решки.

Ответ: a) 0.476; б) 0.357; в) 0.476; г) невозможно