I уровень, II вариант. 2. AB и CD пересекаются в точке O, AO = 12 см, BO = 4 см, CO = 30 см, DO = 10 см. Найдите угол CAO, если ∠DBO = 61°. Найдите отношение площадей треугольников AOC и BOD.

Имеем \(\frac{AO}{BO}=\frac{12}{4}=3\) и \(\frac{CO}{DO}=\frac{30}{10}=3\). Углы AOC и BOD вертикальные, поэтому равны. Значит, △AOC и △BOD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; соответствие вершин: A↔B, O↔O, C↔D.

Соответствующие углы равны, поэтому \(\angle CAO=\angle DBO=61^\circ\).

Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \(S_{AOC}:S_{BOD}=3^2:1^2=9:1\).

Ответ: ∠CAO = 61°; \(S_{AOC}:S_{BOD}=9:1\).