5) f(x) =(3x + 1)² ?

Ответ: (1/9)(3x + 1)³ + C

Чтобы найти первообразную функции f(x) = (3x + 1)⁴, нужно найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Шаг 1: Делаем замену переменной: u = 3x + 1, тогда du = 3 dx, и dx = (1/3) du

Шаг 2: Переписываем интеграл:

\[\int (3x + 1)^4 dx = \int u^4 \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du\]

Шаг 3: Интегрируем степенную функцию:

\[\frac{1}{3} \int u^4 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{15} u^5 + C\]

Шаг 4: Возвращаемся к исходной переменной:

\[\frac{1}{15} (3x + 1)^5 + C\]

Ответ: (1/15)(3x + 1)⁵ + C