5. f(x)=(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-2)

Для нахождения производной функции $$f(x)=(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-2)$$ воспользуемся правилом произведения: $$(uv)' = u'v + uv'$$.

1. Определим u и v: $$u = \sqrt{x} + 4$$, $$v = \sqrt{x} - 2$$
2. Найдем производные u' и v': $$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$, $$v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
3. Применим правило произведения: $$f'(x) = (\frac{1}{2\sqrt{x}})(\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} + 4)(\frac{1}{2\sqrt{x}})$$
4. Упростим выражение: $$f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 4}{2\sqrt{x}}$$
5. Приведем к общему знаменателю: $$f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 4}{2\sqrt{x}}$$
6. Упростим числитель: $$f'(x) = \frac{2\sqrt{x} + 2}{2\sqrt{x}}$$
7. Сократим дробь на 2: $$f'(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$$

Ответ: $$f'(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$$