4. f(x)=\frac{2x²-5}{x+1}

Для нахождения производной функции $$f(x)=\frac{2x^2-5}{x+1}$$ воспользуемся правилом частного: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$.

1. Определим u и v: $$u = 2x^2 - 5$$, $$v = x + 1$$
2. Найдем производные u' и v': $$u' = 4x$$, $$v' = 1$$
3. Применим правило частного: $$f'(x) = \frac{(4x)(x + 1) - (2x^2 - 5)(1)}{(x + 1)^2}$$
4. Упростим выражение: $$f'(x) = \frac{4x^2 + 4x - 2x^2 + 5}{(x + 1)^2}$$
5. Приведем подобные слагаемые: $$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x + 5}{(x + 1)^2}$$

Ответ: $$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x + 5}{(x + 1)^2}$$