E) \([(\frac{3}{5}+\frac{2}{7}+1\frac{7}{10}) \cdot \frac{3}{17} - (2\frac{7}{23}-1\frac{45}{46}) \cdot \frac{69}{80}] \cdot \frac{1}{3}\)

Решение:

1. Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю 70:
• \( \frac{3}{5} = \frac{3 \times 14}{5 \times 14} = \frac{42}{70} \)
• \( \frac{2}{7} = \frac{2 \times 10}{7 \times 10} = \frac{20}{70} \)
• \( 1\frac{7}{10} = \frac{17}{10} = \frac{17 \times 7}{10 \times 7} = \frac{119}{70} \)
2. Сложим числа в первой скобке:
• \( \frac{42}{70} + \frac{20}{70} + \frac{119}{70} = \frac{42 + 20 + 119}{70} = \frac{181}{70} \)
3. Выполним умножение \( \frac{181}{70} \cdot \frac{3}{17} \):
• \( \frac{181 \times 3}{70 \times 17} = \frac{543}{1190} \)
4. Выполним вычитание во второй скобке: \( 2\frac{7}{23}-1\frac{45}{46} \)
• Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 2\frac{7}{23} = \frac{2 \times 23 + 7}{23} = \frac{53}{23} = \frac{106}{46} \)
• \( 1\frac{45}{46} = \frac{1 \times 46 + 45}{46} = \frac{91}{46} \)
• Приведём к общему знаменателю 46:
• \( \frac{106}{46} - \frac{91}{46} = \frac{15}{46} \)
5. Выполним умножение \( \frac{15}{46} \cdot \frac{69}{80} \):
• \( \frac{15 \times 69}{46 \times 80} = \frac{3 \times 5 \times 3 \times 23}{2 \times 23 \times 16 \times 5} = \frac{3 \times 3}{2 \times 16} = \frac{9}{32} \)
6. Выполним вычитание \( \frac{543}{1190} - \frac{9}{32} \):
• \( \frac{543}{1190} = \frac{543}{10 \times 7 \times 17} \)
• \( \frac{9}{32} = \frac{9}{2^5} \)
• Общий знаменатель 11900 * 17 / 10 = 1190? \( 1190 = 10 * 119 = 10 * 7 * 17 \), \( 32 = 2^5 \)
• \( 1190 = 2 \times 5 \times 7 \times 17 \), \( 32 = 2^5 \)
• Общий знаменатель: \( 2^5 \times 5 \times 7 \times 17 = 32 \times 5 \times 7 \times 17 = 160 \times 119 = 19040 \)
• \( \frac{543 \times 16}{1190 \times 16} - \frac{9 \times 595}{32 \times 595} = \frac{8688}{19040} - \frac{5355}{19040} = \frac{3333}{19040} \)
7. Умножим результат на \(\frac{1}{3}\):
• \( \frac{3333}{19040} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1111}{19040} \)

Ответ: \(\frac{1111}{19040}\)