#65 ДЗ В правильной четырёхугольной призме ABCDA, B, C, D, известно, что D₁ В = 2АВ. Найдите угол между диагоналями BD₁ и СА1. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Решение:

Пусть AB = a, тогда D₁B = 2a.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Пусть ∠(BD₁, CA₁) = φ.

В прямоугольном треугольнике DD₁B:

\[BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2\]

Так как ABCD - квадрат, то BD = a√2.

Тогда \[(2a)^2 = (a\sqrt{2})^2 + DD_1^2\]

\[4a^2 = 2a^2 + DD_1^2\]

\[DD_1^2 = 2a^2\]

\[DD_1 = a\sqrt{2}\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁C:

\[CA_1^2 = AC^2 + AA_1^2\]

Так как AC = a√2 и AA₁ = DD₁ = a√2, то

\[CA_1^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2\]

\[CA_1^2 = 2a^2 + 2a^2 = 4a^2\]

\[CA_1 = 2a\]

Заметим, что D₁B = CA₁ = 2a. Следовательно, диагонали равны.

Пусть O - точка пересечения диагоналей BD₁ и CA₁. Тогда треугольник D₁OC - равнобедренный.

Так как диагонали равны, то угол между ними можно найти, рассмотрев треугольник, образованный половинами этих диагоналей и стороной основания.

В данном случае, если рассмотреть проекции диагоналей на плоскость основания, то угол между ними будет равен углу между диагоналями квадрата, то есть 90°.

Однако, поскольку диагонали находятся в пространстве, угол между ними будет другим.

Рассмотрим косинус угла между диагоналями:

\[cos φ = \frac{BD^2 + CA_1^2 - D_1C^2}{2 \cdot BD \cdot CA_1}\]

D₁C = a√2 (диагональ грани)

\[cos φ = \frac{(a\sqrt{2})^2 + (2a)^2 - (a\sqrt{2})^2}{2 \cdot a\sqrt{2} \cdot 2a} = \frac{2a^2 + 4a^2 - 2a^2}{4a^2\sqrt{2}} = \frac{4a^2}{4a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

\[φ = arccos(\frac{1}{\sqrt{2}})\]

\[φ = 45°\]

Ответ: 45°

Проверка за 10 секунд: Угол между диагоналями равен 45 градусам.

Запомни: В правильной четырехугольной призме диагонали равны и угол между ними можно найти через косинус угла.