#66_ДЗ В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми СС₁ и ВА1.

Краткое пояснение:

Решение:

Пусть дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 2. Нужно найти угол между прямыми CC₁ и BA₁.

Так как призма правильная, CC₁ перпендикулярна плоскости основания ABC.

Рассмотрим параллельный перенос прямой CC₁ в прямую AA₁. Теперь нужно найти угол между прямыми AA₁ и BA₁, то есть угол ∠BA₁A.

Рассмотрим треугольник AA₁B. Так как призма правильная, то AA₁ = 2.

Так как ABA₁B₁ – прямоугольник и AB = AA₁ = 2, то ABA₁B₁ – квадрат. Значит, ∠AA₁B = 90°.

Треугольник ABA₁ – прямоугольный с катетами AA₁ = AB = 2.

Тогда A₁B = √(AA₁² + AB²) = √(2² + 2²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

Рассмотрим треугольник BA₁A. В нем AA₁ = 2, BA₁ = 2√2 и AB = 2. Этот треугольник прямоугольный, так как AA₁² + AB² = BA₁².

Так как AA₁ = AB, то треугольник равнобедренный, и углы при основании равны 45°.

Таким образом, ∠BA₁A = 45°.

Ответ: 45°

Проверка за 10 секунд: Угол между прямыми равен 45 градусам.

Запомни: В правильной треугольной призме с равными рёбрами угол между боковым ребром и диагональю боковой грани равен 45 градусам.