5. Две трубы, действуя одновременно, заливают цистерну нефтью за 2 часа. За сколько часов заполняет цистерну первая труба, действуя отдельно, если ей для залива цистерны требуется на 3 часа меньше, чем другой?

Пусть x - время, за которое первая труба заполняет цистерну, тогда x + 3 - время, за которое вторая труба заполняет цистерну.

Производительность первой трубы: 1/x

Производительность второй трубы: 1/(x+3)

Вместе они заполняют цистерну за 2 часа, значит их совместная производительность 1/2.

Тогда уравнение:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{x+3 + x}{x(x+3)} = \frac{1}{2}$$

$$\frac{2x+3}{x^2+3x} = \frac{1}{2}$$

Перемножим крест накрест:

$$2(2x+3) = x^2+3x$$

$$4x + 6 = x^2 + 3x$$

Перенесем все в правую часть:

$$x^2 - x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}$$

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$$

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$$

$$x = \frac{1 \pm 5}{2}$$

Тогда

$$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Время не может быть отрицательным, значит x = 3

Ответ: 3 часа