4. Докажите тождество ctgt/(tgt+ctg) = cos²t.

Докажем тождество $$\frac{ctg t}{tg t + ctg t} = cos^2 t$$.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{ctg t}{tg t + ctg t} = \frac{\frac{cos t}{sin t}}{\frac{sin t}{cos t} + \frac{cos t}{sin t}} = \frac{\frac{cos t}{sin t}}{\frac{sin^2 t + cos^2 t}{cos t sin t}} = \frac{\frac{cos t}{sin t}}{\frac{1}{cos t sin t}} = \frac{cos t}{sin t} \cdot cos t sin t = cos^2 t$$.

Следовательно, $$\frac{ctg t}{tg t + ctg t} = cos^2 t$$.

Ответ: Тождество доказано.