491 Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равно- бедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.

а) Доказательство, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны:

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC. Проведём высоты BH и CF. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Также BH = CF (высоты между параллельными прямыми). Значит, прямоугольные треугольники ABH и DCF равны по гипотенузе и катету. Следовательно, AH = DF и углы BAH и CDF равны. Так как BC || AD, то углы ABH и DCF равны как соответственные. Таким образом, углы при основании AD равны, а углы при основании BC также равны, так как сумма углов трапеции равна 360 градусам.

б) Доказательство, что в равнобедренной трапеции диагонали равны:

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали AC и BD. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них AD - общая сторона, AB = CD (трапеция равнобедренная), углы BAD и CDA равны (углы при основании равнобедренной трапеции). Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AC = BD.

Таким образом, доказано, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны.

Ответ: доказано.