440. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.

Доказательство:

1. Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠C = ∠C₁ = 90°.
2. Пусть AC = A₁C₁ и биссектрисы углов C и C₁ равны (CD = C₁D₁).
3. Рассмотрим треугольники ACD и A₁C₁D₁. У них:
• AC = A₁C₁ (по условию)
• CD = C₁D₁ (по условию)
• ∠ACD = ∠A₁C₁D₁ = 45° (CD и C₁D₁ - биссектрисы)
4. Следовательно, треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по двум сторонам и углу между ними.
5. Из равенства треугольников следует, что AD = A₁D₁ и ∠CAD = ∠C₁A₁D₁.
6. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. У них:
• AC = A₁C₁ (по условию)
• ∠A = ∠A₁ (доказано выше)
7. Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

Ответ: Прямоугольные треугольники равны по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.