4. Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины треть его угла.

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Пусть даны два остроугольных треугольника ABC и A1B1C1, в которых ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, и высоты CD и C1D1 равны.

1. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠C = 180° - ∠A - ∠B и ∠C1 = 180° - ∠A1 - ∠B1.
2. По условию, ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, следовательно, ∠C = ∠C1.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADC и A1D1C1. В них ∠A = ∠A1 и CD = C1D1 (высоты).
4. Следовательно, треугольники ADC и A1D1C1 равны по катету и острому углу (первый признак равенства прямоугольных треугольников).
5. Из равенства треугольников ADC и A1D1C1 следует, что AC = A1C1.
6. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. В них ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1 и AC = A1C1.
7. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Доказано равенство остроугольных треугольников.