Докажите, что значение выражения 3⁹ – 4³ делится нацело на 23.

Задание 5. Доказательство делимости

Нам нужно доказать, что \( 3^9 - 4^3 \) делится на 23.

Вычислим значение выражения:

\[ 3^9 = 3^3 \cdot 3^3 \cdot 3^3 = 27 \cdot 27 \cdot 27 \]

\[ 27 \equiv 4 \pmod{23} \]

\[ 3^9 \equiv 4^3 \pmod{23} \]

\[ 3^9 - 4^3 \equiv 0 \pmod{23} \]

Таким образом, \( 3^9 - 4^3 \) делится на 23.

Альтернативный способ:

Вычислим значения степеней:

\[ 3^9 = 19683 \]

\[ 4^3 = 64 \]

Вычислим разность:

\[ 19683 - 64 = 19619 \]

Разделим полученное число на 23:

\[ 19619 \div 23 = 853 \]

Так как результат деления является целым числом, то \( 3^9 - 4^3 \) делится нацело на 23.

Ответ: Доказано.