243 Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соеди- няющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. D - произвольная точка на основании BC. Нужно доказать, что AD < AB.

1. Рассмотрим треугольник ADC. По неравенству треугольника, сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны:

$$AD + DC > AC$$

2. Рассмотрим треугольник ABD. Аналогично:

$$AD + BD > AB$$

3. Пусть ∠B = ∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника).

4. ∠ADB и ∠ADC - смежные, значит, ∠ADB + ∠ADC = 180°.

5. Пусть ∠ADC - острый, тогда ∠ADB - тупой (и наоборот).

6. Если AD соединяет точку D с вершиной A, и D лежит на BC, то AD будет наименьшим отрезком, если AD - высота.

7. Если AD - не высота, то, поскольку AB = AC, AD будет меньше боковой стороны AB (или AC).

Ответ: AD < AB.