3. Докажите, что уравнение x⁴ - x² + 1 = 0 не имеет корней.

Доказательство:

• Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат:
  • \(x^4 - x^2 + 1 = x^4 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = (x^2 - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\)
• Заметим, что \((x^2 - \frac{1}{2})^2\) всегда неотрицательно (квадрат любого числа), а \(\frac{3}{4}\) — положительное число.
• Следовательно, \((x^2 - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0\) при любом x.

Таким образом, уравнение \(x^4 - x^2 + 1 = 0\) не имеет корней, так как левая часть всегда больше нуля.