8. Докажите, что сумма внешних углов треуголь- ника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Пусть дан треугольник ABC. Обозначим внешние углы при вершинах A, B и C как α, β и γ соответственно.

По определению внешнего угла треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно:

α = ∠B + ∠C

β = ∠A + ∠C

γ = ∠A + ∠B

Сумма внешних углов: α + β + γ = (∠B + ∠C) + (∠A + ∠C) + (∠A + ∠B) = 2(∠A + ∠B + ∠C).

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Тогда сумма внешних углов: 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2 × 180° = 360°.

Ответ: доказано, что сумма внешних углов треугольника равна 360°.