6. Докажите, что прямая, параллельная стороне равностороннего треугольника и пересекающая две его стороны, отсекает равносторонний треугольник.

Пусть дан равносторонний треугольник ABC, DE || AC (D ∈ AB, E ∈ BC). Докажем, что треугольник DBE равносторонний.

Т.к. треугольник ABC равносторонний, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

Т.к. DE || AC, то ∠BDE = ∠A = 60° и ∠BED = ∠C = 60° (как соответственные углы при параллельных прямых DE и AC и секущих AB и BC соответственно).

В треугольнике DBE: ∠B = ∠BDE = ∠BED = 60°, значит, треугольник DBE равносторонний.

Ответ: доказано.