Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные.

Пусть \(a=\frac mn\), \(b=\frac pq\), где \(m,n,p,q\in Z\), \(n\ne0\), \(q\ne0\). Тогда

\[a-b=\frac mn-\frac pq=\frac{mq-np}{nq}\in Q.\]

\[ab=\frac mn\cdot\frac pq=\frac{mp}{nq}\in Q.\]

При \(b\ne0\), то есть при \(p\ne0\),

\[\frac ab=\frac mn:\frac pq=\frac{mq}{np}\in Q.\]

Следовательно, разность, произведение и частное рациональных чисел при ненулевом делителе являются рациональными числами.