1018. Докажите, что при любом натуральном и значение выражения: a) (n + 21)³ - (n + 4)3 кратно 17; 6) (n + 48)³ - (п + 7)3 кратно 41; в) (n + 3)3 - (п - 3)3 кратно 18.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: a) кратно 17, б) кратно 41, в) кратно 18.

Краткое пояснение: Раскрываем скобки и упрощаем выражение, чтобы показать делимость на заданное число.

а) (n + 21)³ - (n + 4)³ кратно 17

Раскроем кубы: \[(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 21 + 3 \cdot n \cdot 21^2 + 21^3) - (n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 4 + 3 \cdot n \cdot 4^2 + 4^3)\] \[n^3 + 63n^2 + 1323n + 9261 - (n^3 + 12n^2 + 48n + 64)\]
Упростим выражение: \[n^3 + 63n^2 + 1323n + 9261 - n^3 - 12n^2 - 48n - 64\] \[51n^2 + 1275n + 9197\]
Вынесем 17 за скобки: \[17(3n^2 + 75n + 541)\]
Так как выражение делится на 17, то (n + 21)³ - (n + 4)³ кратно 17.

б) (n + 48)³ - (n + 7)³ кратно 41

Раскроем кубы: \[(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 48 + 3 \cdot n \cdot 48^2 + 48^3) - (n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 7 + 3 \cdot n \cdot 7^2 + 7^3)\] \[n^3 + 144n^2 + 6912n + 110592 - (n^3 + 21n^2 + 147n + 343)\]
Упростим выражение: \[n^3 + 144n^2 + 6912n + 110592 - n^3 - 21n^2 - 147n - 343\] \[123n^2 + 6765n + 110249\]
Вынесем 41 за скобки: \[41(3n^2 + 165n + 2689)\]
Так как выражение делится на 41, то (n + 48)³ - (n + 7)³ кратно 41.

в) (n + 3)³ - (n - 3)³ кратно 18

Раскроем кубы: \[(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 + 3^3) - (n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 - 3^3)\] \[n^3 + 9n^2 + 27n + 27 - (n^3 - 9n^2 + 27n - 27)\]
Упростим выражение: \[n^3 + 9n^2 + 27n + 27 - n^3 + 9n^2 - 27n + 27\] \[18n^2 + 54\]
Вынесем 18 за скобки: \[18(n^2 + 3)\]
Так как выражение делится на 18, то (n + 3)³ - (n - 3)³ кратно 18.

Ответ: a) кратно 17, б) кратно 41, в) кратно 18.

Цифровой атлет

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена