1019. Докажите, что значение выражения: a) 5.712 5 кратно 30; б) 7. 311 + 7 кратно 28.

Решение:

a) 5 ⋅ 7¹² - 5

• Вынесем 5 за скобки: 5(7¹² - 1)
• Нам нужно доказать, что 5(7¹² - 1) кратно 30, то есть делится на 30.
• Для этого нужно доказать, что (7¹² - 1) делится на 6.
• Заметим, что 7¹² - 1 = (7⁶ - 1)(7⁶ + 1) = (7³ - 1)(7³ + 1)(7⁶ + 1) = (342)(344)(7⁶ + 1)
• 342 делится на 6, так как 342 = 6 ⋅ 57.
• Значит, 5 ⋅ 7¹² - 5 кратно 30.

б) 7 ⋅ 3¹¹ + 7

• Вынесем 7 за скобки: 7(3¹¹ + 1)
• Нам нужно доказать, что 7(3¹¹ + 1) кратно 28, то есть делится на 28.
• Для этого нужно доказать, что (3¹¹ + 1) делится на 4.
• Рассмотрим 3¹¹ + 1 по модулю 4. Заметим, что 3 ≡ -1 (mod 4), поэтому 3¹¹ ≡ (-1)¹¹ ≡ -1 (mod 4).
• Тогда 3¹¹ + 1 ≡ -1 + 1 ≡ 0 (mod 4).
• Значит, 3¹¹ + 1 делится на 4, и 7 ⋅ 3¹¹ + 7 кратно 28.