1017. Разложите на множители: a) (x² + y²)² - 4x²y²; 6) 4a²b² - (a² + b²)2.

Решение:

a) (x² + y²)² - 4x²y²

• Применим формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)
• В данном случае: a = (x² + y²), b = 2xy
• (x² + y²)² - 4x²y² = (x² + y² - 2xy)(x² + y² + 2xy)
• Заметим, что x² + y² - 2xy = (x - y)² и x² + y² + 2xy = (x + y)²
• (x² + y² - 2xy)(x² + y² + 2xy) = (x - y)²(x + y)²

б) 4a²b² - (a² + b²)²

• Применим формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)
• В данном случае: a = 2ab, b = (a² + b²)
• 4a²b² - (a² + b²)² = (2ab - (a² + b²))(2ab + (a² + b²))
• Раскроем скобки: (2ab - a² - b²)(2ab + a² + b²)
• Заметим, что 2ab - a² - b² = -(a² - 2ab + b²) = -(a - b)² и 2ab + a² + b² = (a + b)²
• -(a - b)²(a + b)²