00 Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к ги- потенузе.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть CK - высота, проведенная к гипотенузе AB. Требуется доказать, что площадь квадрата, построенного на катете AC, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте CK.

1. Выразим площадь квадрата, построенного на катете AC. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Следовательно, площадь квадрата, построенного на AC, равна $$AC^2$$.

2. Выразим площадь квадрата, построенного на высоте CK. Площадь этого квадрата равна $$CK^2$$.

3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, то есть AC = BC.

4. Высота CK, проведённая к гипотенузе, также является медианой и биссектрисой. Следовательно, AK = KB = AB/2.

5. Поскольку треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, угол CAB равен углу CBA и равен 45 градусам.

6. Рассмотрим треугольник ACK. Он также является прямоугольным (угол AKC = 90 градусов). Так как угол CAK = 45 градусов, угол ACK также равен 45 градусам. Значит, треугольник ACK равнобедренный, и CK = AK.

7. Выразим гипотенузу AB через катет AC. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AC^2 + BC^2 = AC^2 + AC^2 = 2AC^2$$. Следовательно, $$AB = \sqrt{2}AC$$.

8. Тогда $$AK = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}AC}{2} = \frac{AC}{\sqrt{2}}$$.

9. Так как CK = AK, то $$CK = \frac{AC}{\sqrt{2}}$$.

10. Площадь квадрата, построенного на высоте CK, равна $$CK^2 = \left(\frac{AC}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{AC^2}{2}$$.

11. Сравним площади квадратов: площадь квадрата на катете $$AC^2$$; площадь квадрата на высоте $$\frac{AC^2}{2}$$.

12. Видим, что $$AC^2 = 2 \cdot \frac{AC^2}{2}$$. Таким образом, площадь квадрата, построенного на катете AC, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте CK.

Ответ: Доказано.