6. Докажите, что если сумма первых п членов последователь- ности задается формулой Sn=2n²+7n+1, nе, то, начиная со второго члена, эта последовательность является арифмети- ческой прогрессией.

Ответ: Последовательность, начиная со второго члена, является арифметической прогрессией.

Решение:

• Шаг 1: Находим выражение для n-го члена последовательности: aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ aₙ = (2n² + 7n + 1) - (2(n-1)² + 7(n-1) + 1) aₙ = 2n² + 7n + 1 - (2(n² - 2n + 1) + 7n - 7 + 1) aₙ = 2n² + 7n + 1 - (2n² - 4n + 2 + 7n - 7 + 1) aₙ = 2n² + 7n + 1 - 2n² + 4n - 2 - 7n + 7 - 1 aₙ = 4n + 5
• Шаг 2: Находим выражение для (n+1)-го члена последовательности: aₙ₊₁ = 4(n + 1) + 5 aₙ₊₁ = 4n + 4 + 5 aₙ₊₁ = 4n + 9
• Шаг 3: Находим разность между (n+1)-м и n-м членами: d = aₙ₊₁ - aₙ d = (4n + 9) - (4n + 5) d = 4n + 9 - 4n - 5 d = 4
• Шаг 4: Так как разность между соседними членами (d = 4) является константой, то последовательность, начиная со второго члена, является арифметической прогрессией.

Ответ: Последовательность, начиная со второго члена, является арифметической прогрессией.