6*. Докажите, что для любых событий А и В верно, что Р(АВ)≥P(A)

6. Неравенство $$P(A \cap B) \ge P(A)$$ неверно. Правильное неравенство: $$P(A \cap B) \le P(A)$$.

Доказательство:

Так как $$A \cap B \subseteq A$$, то и $$P(A \cap B) \le P(A)$$.

Событие $$A \cap B$$ происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B. Поэтому, вероятность того, что произойдет $$A \cap B$$, не может быть больше, чем вероятность того, что произойдет только A. Следовательно, $$P(A \cap B) \le P(A)$$.

Равенство достигается, когда A является подмножеством B (то есть, когда всякий раз, когда происходит A, происходит и B), в этом случае $$P(A \cap B) = P(A)$$.

Ответ: Доказано, что P(A\B) ≤ P(A).