3. Монету бросают трижды. Событие А состоит в том, что первым выпал орёл. Событие В состоит в том, что последним выпал орел. а) Опишите словами событие \(A \cup B\). Выпишите элементарные события, благоприятствующие каждому из данных событий и событию \(A \cap B\); б) Найдите \(P(A \cup B)\).

Рассмотрим задачу о бросании монеты трижды. Пусть событие A – первым выпал орёл, а событие B – последним выпал орёл.

a) Событие \(A \cup B\) (объединение событий A и B) означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B. То есть, либо первым выпал орёл, либо последним выпал орёл, либо и то, и другое.

Элементарные события, благоприятствующие событию A (первым выпал орёл):

• Орёл, Орёл, Орёл (ООО)
• Орёл, Орёл, Решка (ООР)
• Орёл, Решка, Орёл (ОРО)
• Орёл, Решка, Решка (ОРР)

Элементарные события, благоприятствующие событию B (последним выпал орёл):

• Орёл, Орёл, Орёл (ООО)
• Орёл, Решка, Орёл (ОРО)
• Решка, Орёл, Орёл (РОО)
• Решка, Решка, Орёл (РРО)

Элементарные события, благоприятствующие событию \(A \cap B\) (пересечение событий A и B, то есть и первым, и последним выпал орёл):

• Орёл, Орёл, Орёл (ООО)
• Орёл, Решка, Орёл (ОРО)

б) Для того чтобы найти \(P(A \cup B)\), воспользуемся формулой:

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Найдем вероятности каждого события:

Всего возможных исходов при бросании монеты трижды: 2 * 2 * 2 = 8 (каждый бросок имеет 2 исхода – орёл или решка).

• P(A) = (количество исходов, где первым выпал орёл) / (общее количество исходов) = 4/8 = 1/2
• P(B) = (количество исходов, где последним выпал орёл) / (общее количество исходов) = 4/8 = 1/2
• P(A \cap B) = (количество исходов, где и первым и последним выпал орёл) / (общее количество исходов) = 2/8 = 1/4

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$$ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

Ответ: \(P(A \cup B) = \frac{3}{4}\)