451. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (1; −5), В (2; 3), C (−3; 1), D (-4; −7) является параллелограммом.

Чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, нужно доказать, что его противоположные стороны попарно параллельны и равны, то есть \(\vec{AB} = \vec{DC}\) и \(\vec{AD} = \vec{BC}\).

Найдем координаты векторов \(\vec{AB}\), \(\vec{DC}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\):

$$ \vec{AB} = (2 - 1; 3 - (-5)) = (1; 8) $$ $$ \vec{DC} = (-3 - (-4); 1 - (-7)) = (1; 8) $$ $$ \vec{AD} = (-4 - 1; -7 - (-5)) = (-5; -2) $$ $$ \vec{BC} = (-3 - 2; 1 - 3) = (-5; -2) $$

Так как \(\vec{AB} = \vec{DC}\) и \(\vec{AD} = \vec{BC}\), то ABCD - параллелограмм, что и требовалось доказать.