4. Диаметры АВ и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD = 114°.

Решение: Поскольку AB и CD - диаметры окружности, они пересекаются в центре окружности - точке O. ∠BOD и ∠AOC - вертикальные углы, следовательно, ∠AOC = ∠BOD = 114°. Рассмотрим треугольник AOD. OA и OD - радиусы окружности, следовательно, OA = OD, и треугольник AOD является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠OAD = ∠ODA. Сумма углов в треугольнике AOD равна 180°. Следовательно, ∠AOD + ∠OAD + ∠ODA = 180°. ∠AOD и ∠BOD - смежные углы, поэтому ∠AOD = 180° - ∠BOD = 180° - 114° = 66°. Так как ∠OAD = ∠ODA, то 2 * ∠ODA = 180° - ∠AOD = 180° - 66° = 114°. Следовательно, ∠ODA = 114° / 2 = 57°. Ответ: ∠ADO = 57°