4 Дано: прямая МА перпендикулярна плоскости α. Найти угол между прямой МВ и плоскостью α. M 4 120° B A 6 C

Обозначим угол между прямой МВ и плоскостью α за β.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(120^\circ)$$ $$BC^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot (-0.5)$$ $$BC^2 = 36 + 16 + 24 = 76$$ $$BC = \sqrt{76}$$ $$BC = 2\sqrt{19}$$

Рассмотрим треугольник МАВ. Угол МАВ прямой, следовательно, треугольник МАВ - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$MB^2 = MA^2 + AB^2$$

Рассмотрим треугольник МАС. Угол МАС прямой, следовательно, треугольник МАС - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$MC^2 = MA^2 + AC^2$$

Рассмотрим треугольник МВС. По теореме косинусов:

$$MC^2 + MB^2 = BC^2 + 2 \cdot MC \cdot MB \cdot cos(β)$$ $$(MA^2 + AC^2) + (MA^2 + AB^2) = BC^2 + 2 \cdot \sqrt{(MA^2 + AC^2)} \cdot \sqrt{(MA^2 + AB^2)} \cdot cos(β)$$ $$2MA^2 + AC^2 + AB^2 = BC^2 + 2 \cdot \sqrt{(MA^2 + AC^2)(MA^2 + AB^2)} \cdot cos(β)$$ $$2MA^2 + 4^2 + 6^2 = (2\sqrt{19})^2 + 2 \cdot \sqrt{(MA^2 + 4^2)(MA^2 + 6^2)} \cdot cos(β)$$ $$2MA^2 + 16 + 36 = 76 + 2 \cdot \sqrt{(MA^2 + 16)(MA^2 + 36)} \cdot cos(β)$$ $$2MA^2 + 52 = 76 + 2 \cdot \sqrt{(MA^2 + 16)(MA^2 + 36)} \cdot cos(β)$$ $$2MA^2 - 24 = 2 \cdot \sqrt{(MA^2 + 16)(MA^2 + 36)} \cdot cos(β)$$ $$MA^2 - 12 = \sqrt{(MA^2 + 16)(MA^2 + 36)} \cdot cos(β)$$ $$cos(β) = \frac{MA^2 - 12}{\sqrt{(MA^2 + 16)(MA^2 + 36)}}$$ $$β = arccos(\frac{MA^2 - 12}{\sqrt{(MA^2 + 16)(MA^2 + 36)}})$$

Так как MA неизвестно, то угол между прямой MB и плоскостью α выражается формулой:

$$β = arccos(\frac{MA^2 - 12}{\sqrt{(MA^2 + 16)(MA^2 + 36)}})$$

Ответ: $$arccos(\frac{MA^2 - 12}{\sqrt{(MA^2 + 16)(MA^2 + 36)}})$$