7 Дано: плоскости α и в перпендикулярны. Найти угол между прямой АВ и плоскостью в. β Β A1 2√3 A α B1 6 30

Обозначим угол между прямой АВ и плоскостью β через φ. Прямая А1В перпендикулярна плоскости β.

Из условия задачи известно, что угол BАВ1 = 30°, тогда:

cos(30°) = AB1 / AB

AB1 = AB * cos(30°)

AB1 = AB * (√3/2)

Рассмотрим треугольник A1B1B, где угол BB1A1 прямой.

sin(φ) = A1B1 / AB = 6 / AB

A1B1 = 6

A1B^2 = AB1^2 + A1B1^2

A1B = √(AB1^2 + A1B1^2)

По теореме Пифагора для треугольника A1B1B : A1B^2 + AB^2 = AA1^2

A1B^2 = AA1^2 - AB^2

Тогда AA1^2 - AB^2 = AB1^2 + A1B1^2

AA1^2 = AB1^2 + A1B1^2 + AB^2

Пусть AB = x, тогда AB1 = x * (√3/2), A1B1 = 6

AA1^2 = (x * (√3/2))^2 + 6^2 + x^2

AA1^2 = (3/4) * x^2 + 36 + x^2 = (7/4) * x^2 + 36

В прямоугольном треугольнике А1АВ1:

tg φ = А1B1 / АВ = 6 / (х*(√3/2)) = 12/(х√3)

sin φ = А1B1 / АА1 = 6 /√( (7/4)*x^2 + 36)

Угол между прямой АВ и плоскостью β равен φ.

sin φ = А1B1 / АА1 = 6 /√( (7/4)*x^2 + 36)

Ответ: arcsin (6 /√( (7/4)*x^2 + 36)), где х = АВ