(59) Дано: (DBC) ⊥ (ABC), (ADC) ⊥ (ABC), AC ⊥ BC, AC = 8, BD = 12, DM = MB. Найти: АМ.

Так как (DBC) ⊥ (ABC) и (ADC) ⊥ (ABC), то DC ⊥ (ABC). AC ⊥ BC, следовательно, треугольник ABC прямоугольный. Треугольник DBC также прямоугольный.

Так как DM = MB, то M - середина DB. Рассмотрим треугольник DBC. CM - медиана. Так как треугольник прямоугольный, то CM = 1/2 * DB = DM = MB.

Рассмотрим треугольник ADB. AM - медиана.

DC ⊥ (ABC), значит DC ⊥ AC и DC ⊥ BC.

Рассмотрим треугольник DBC. Он прямоугольный, DB = √(DC² + BC²)

Рассмотрим треугольник DAC. Он прямоугольный, DB = √(DC² + AC²)

Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, AB = √(AC² + BC²)

Так как AC ⊥ BC, то по теореме Пифагора AB = √(AC² + BC²) = √(8² + BC²).

По условию DM = MB, значит M - середина DB.

AM = 1/2 DB, так как DC ⊥ (ABC).

Найдем DB. Для этого нужно найти DC.

Нужно рассмотреть пирамиду DABC, в которой DC - высота, а в основании - прямоугольный треугольник ABC.

Рассмотрим треугольник ABC. AC = 8, BC = x, AB = √(64 + x²)

Рассмотрим треугольник DBC. DC ⊥ BC, DB = √(144 + x²)

Рассмотрим треугольник DAC. DC ⊥ AC, DB = √(64 + DC²)

Нужно найти DC и BC, чтобы решить задачу.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки D, B и A. Так как (DBC) ⊥ (ABC) и (DAC) ⊥ (ABC), то ребро DC перпендикулярно плоскости (ABC). Значит, DC перпендикулярно AC и BC. Т.е. треугольники DAC и DBC прямоугольные.

DB² = DC² + BC²

DA² = DC² + AC²

DB = 12, AC = 8, следовательно,

144 = DC² + BC²

DA² = DC² + 64

Из прямоугольного треугольника ABC: AB² = AC² + BC² = 64 + BC²

Так как M - середина DB, то AM - медиана в треугольнике ADB.

По теореме о медиане: AM² = (2AD² + 2AB² - DB²)/4 = (2(DC² + 64) + 2(64 + BC²) - 144)/4

AM² = (2DC² + 128 + 128 + 2BC² - 144)/4 = (2DC² + 2BC² + 112)/4 = (2(DC² + BC²) + 112)/4 = (2*144 + 112)/4 = (288 + 112)/4 = 400/4 = 100

AM = √100 = 10

Ответ: 10