(58 Дано: α ⊥ β, AB ⊥ BD, CD ⊥ BD, AB = √ CD=√3, AC=5. Найти: BD.

Пусть BD = x.

Рассмотрим треугольник ABD, он прямоугольный, так как AB ⊥ BD. По теореме Пифагора:

$$AD^2 = AB^2 + BD^2 = (\sqrt{6})^2 + x^2 = 6 + x^2$$

Рассмотрим треугольник CBD, он прямоугольный, так как CD ⊥ BD. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = CD^2 + BD^2 = (\sqrt{3})^2 + x^2 = 3 + x^2$$

Рассмотрим проекцию точки C на плоскость α. Обозначим ее E. AE = BD = x.

Тогда AD = EC, рассмотрим треугольник CED, CE = AD

В треугольнике AEC угол AEC - прямой. Тогда по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AE^2 + EC^2$$

$$5^2 = x^2 + (6 + x^2)$$

$$25 = x^2 + 6 + x^2$$

$$2x^2 = 19$$

$$x^2 = \frac{19}{2} = 9.5$$

$$x = \sqrt{9.5}$$

Для решения задачи необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник ABC.

Найдем угол ABC. Для этого найдем диагональ AC.

Рассмотрим систему уравнений:

$$AD^2 = 6 + BD^2$$

$$BC^2 = 3 + BD^2$$

$$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 5^2$$

Рассмотрим треугольник ABD. Пусть BD = x

AD = √(6 + x²). Рассмотрим треугольник CBD.

BC = √(3 + x²). Рассмотрим треугольник ABC.

Рассмотрим проекцию точки C на плоскость α. Обозначим ее E. Тогда AE = BD

Рассмотрим треугольник ACE. AC² = AE² + CE². CE = AD

AC² = BD² + AD²

25 = x² + 6 + x²

2x² = 19

x² = 9.5

x = √9.5

Ответ: $$\sqrt{9.5}$$