(64) Дано: β ⊥ α, AB ⊥ m, AC = 17, BC = 15. Найти: АВ.

Так как β ⊥ α, то плоскость β перпендикулярна плоскости α.

Так как AB ⊥ m, то AB перпендикулярна прямой m. Так как плоскость β перпендикулярна плоскости α, то прямая m лежит в плоскости α.

Из условия недостаточно данных, чтобы найти AB.

Рассмотрим треугольник ABC. Нужно найти AB. AC = 17, BC = 15.

Если угол C прямой, то AB² = AC² + BC² = 17² + 15² = 289 + 225 = 514. AB = √514.

Если угол B прямой, то AC² = AB² + BC². AB² = AC² - BC² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64. AB = √64 = 8.

Если угол A прямой, то BC² = AB² + AC². AB² = BC² - AC² = 15² - 17² = 225 - 289 = -64. Это невозможно, так как AB² не может быть отрицательным числом.

Предположим, что AB перпендикулярна m. Тогда плоскость β ⊥ α. Тогда треугольник ABC не лежит в одной плоскости. Не достаточно данных для нахождения AB.

Если предположить, что угол ABC прямой, то AB = 8.

Ответ: 8