5. Дано: АВ ⊥ α, ∠ACB = 45°, AB = 4√2 Найдите АС.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (AB ⊥ BC, так как AB перпендикулярна плоскости α).

2. $$sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC}$$, где AC - гипотенуза, AB - катет, противолежащий углу ACB.

3. Выразим AC: $$AC = \frac{AB}{sin(\angle ACB)}$$

4. Подставим значения: $$AC = \frac{4\sqrt{2}}{sin(45^{\circ})} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 8$$

Ответ: 8