Дано: АВ ⊥ α, AC = 6√2, ∠ACB = 30°, ∠BAD = 45°. Найдите AD.

Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, т.к. АВ ⊥ α, следовательно, АВ ⊥ ВС. Известно, что AC = 6√2, ∠ACB = 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит АВ = 1/2 AC.

1) АВ = 1/2 × 6√2 = 3√2

Рассмотрим треугольник АВD. Он прямоугольный, т.к. АВ ⊥ α, следовательно, АВ ⊥ ВD. Известно, что ∠BAD = 45°. Следовательно, ∠ADB = 45°, значит треугольник равнобедренный, АВ = ВD.

2) ВD = 3√2

По теореме Пифагора AD² = АВ² + ВD²

3) AD² = (3√2)² + (3√2)² = 9 × 2 + 9 × 2 = 18 + 18 = 36

4) AD = √36 = 6

Ответ: 6