4. Дан ромб АВСD, периметр которого равен 24, ∠B = 120°. Точка S не при- надлежит плоскости ABCD, ∠SBC= = 90°, LSBA = 90°. Найдите длину отрезка SB, если SD = 10.

Периметр ромба ABCD равен 24, следовательно, АВ = ВС = СD = AD = 24 ∶ 4 = 6.

∠B = 120°, следовательно, ∠A = 180° - 120° = 60°.

Рассмотрим треугольник ABS. ∠SBA = 90°, следовательно, ∆ABS - прямоугольный. Рассмотрим треугольник CBS. ∠SBC = 90°, следовательно, ∆CBS - прямоугольный.

Рассмотрим ∆ABC. AB = BC, ∠B = 120°, следовательно, ∠A = ∠C = (180° - 120°) ∶ 2 = 30°.

Проведем высоту BH к стороне AC. ∆ABH = ∆CBH, AH = HC.

∆ABH - прямоугольный, ∠ABH = 120° ∶ 2 = 60°, ∠BAH = 30°.

BH = AB × sin 30° = 6 × 0,5 = 3.

AC = 2 × AB × cos 30° = 2 × 6 × (√3 ∶ 2) = 6√3.

Пусть SB = x. Рассмотрим ∆ABS. По теореме Пифагора, AS² = AB² + SB² = 6² + x² = 36 + x².

Рассмотрим ∆CBS. По теореме Пифагора, SC² = BC² + SB² = 6² + x² = 36 + x².

Следовательно, AS = SC, то есть ∆ASC - равнобедренный. Так как ABCD - ромб, то BD ⊥ AC.

Пусть O - точка пересечения AC и BD, тогда AO = OC.

Рассмотрим ∆ASO. SO² = AS² - AO² = 36 + x² - (3√3)² = 36 + x² - 27 = 9 + x².

∆SDO - прямоугольный, SD² = SO² + OD².

Найдем OD. ∠ABC = 120°, следовательно, ∠ABO = 60°. ∆ABO - прямоугольный, BO = AB × sin 60° = 6 × (√3 ∶ 2) = 3√3.

SD² = SO² + OD².

10² = 9 + x² + (3√3)².

100 = 9 + x² + 27.

x² = 100 - 9 - 27 = 64.

x = √64 = 8.

Ответ: 8