5. АВ и CD — перпендикуляры к плос- кости а, АВ = 6, CD = 10, AC = √80. Найдите площадь треугольника ACD.

Площадь треугольника ACD равна половине произведения основания на высоту, S = 1/2 × AC × CD.

Нужно найти высоту DE, опущенную из вершины D на сторону AC.

Рассмотрим точку E, принадлежащую плоскости α, тогда AВ ⊥ α, следовательно, АВ ⊥ AE. CD ⊥ α, следовательно, CD ⊥ CE.

CD = 10, AB = 6, AC = √80. Найдем CE из ∆ACE. CE² = AC² - AE².

Рассмотрим четырехугольник ABCE. ∠A = ∠C = 90°. Проведем отрезок BC. Рассмотрим треугольник ABC, AB² + AE² = BC².

Рассмотрим треугольник BCD, BC² + CE² = BD².

AB² + AE² + CE² = BD².

Рассмотрим треугольник ACD, AC² + CD² = AD².

Рассмотрим треугольник ABD, AB² + BD² = AD².

AC² + CD² = AB² + BD².

AC² + CD² = AB² + AB² + AE² + CE².

(√80)² + 10² = 6² + 6² + AE² + CE².

80 + 100 = 36 + 36 + AE² + CE².

AE² + CE² = 180 - 72 = 108.

CE² = 108 - AE².

CE² = AC² - AE².

108 - AE² = (√80)² - AE².

AE² + CE² = 108.

Пусть AE = x, CE = √80 - x.

Рассмотрим ∆CDE. DE² = CD² - CE² = 10² - CE² = 100 - CE².

S = 1/2 × AC × DE.

100 - CE² = BD².

BD² = AD² - AB² = AC² + CD² - AB² = (√80)² + 10² - 6² = 80 + 100 - 36 = 144.

BD = √144 = 12.

CD ⊥ плоскости α, следовательно, CD ⊥ AE, CD ⊥ CE.

CE = √12 ≈ 3,46

DE = √(10² - 12²) ≈ 9,3

S = 1/2 × AC × CD ≈ 1/2 × √80 × 9,3 ≈ 41,5.

Ответ: 41,5