16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Т.к. четырехугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.

$$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$$

$$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$$

Угол ADC состоит из углов \(\angle\)ADB и \(\angle\)BDC.

Угол CAD опирается на дугу CD, и угол CBD тоже опирается на дугу CD, следовательно, они равны.

$$\angle CBD = \angle CAD = 83^\circ$$

Угол BAD опирается на дугу BD, и угол BCD тоже опирается на дугу BD, следовательно, они равны.

Угол BCD = 180° - 83° = 97°

Угол ABD = углу ACD, так как опираются на одну и ту же дугу AD.

Угол ACB = углу ADB, так как опираются на одну и ту же дугу AB.

В треугольнике ABC: \(\angle\)BAC = 180° - (138° + \(\angle\)ACB)

В треугольнике ACD: \(\angle\)ACD = 180° - (83° + 42°) = 55°

Тогда, \(\angle\)ABD = \(\angle\)ACD = 55°.

Ответ: 55