15. Биссектриса равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.

Обозначим сторону равностороннего треугольника через $$a$$. Биссектриса в равностороннем треугольнике является также медианой и высотой. Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника с гипотенузой $$a$$ и катетами $$\frac{a}{2}$$ и $$11\sqrt{3}$$.

По теореме Пифагора:

$$(\frac{a}{2})^2 + (11\sqrt{3})^2 = a^2$$

$$\frac{a^2}{4} + 121 \cdot 3 = a^2$$

$$\frac{a^2}{4} + 363 = a^2$$

$$363 = a^2 - \frac{a^2}{4}$$

$$363 = \frac{3a^2}{4}$$

$$a^2 = \frac{363 \cdot 4}{3}$$

$$a^2 = 121 \cdot 4$$

$$a = \sqrt{121 \cdot 4}$$

$$a = 11 \cdot 2 = 22$$

Ответ: 22