Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 870, угол CAD равен 420. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• $$\\( \angle ABC = 87^{\circ} \\ )$$
• $$\\( \angle CAD = 42^{\circ} \\ )$$

Найти: $$\\( \angle ABD \\ )$$

Решение:

1. Углы, противолежащие друг другу в четырёхугольнике, вписанном в окружность, в сумме дают $$180^{\circ}$$.

Следовательно, $$\\( \angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle ADC = 180^{\circ} - 87^{\circ} = 93^{\circ} \\ )$$

2. Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.

$$\\( \angle CBD \\ )$$ и $$\\( \angle CAD \\ )$$ опираются на хорду CD, значит $$\\( \angle CBD = \angle CAD = 42^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle ABD \\ )$$ и $$\\( \angle ACD \\ )$$ опираются на хорду AD, значит $$\\( \angle ABD = \angle ACD \\ )$$

$$\\( \angle BAC \\ )$$ и $$\\( \angle BDC \\ )$$ опираются на хорду BC, значит $$\\( \angle BAC = \angle BDC \\ )$$

3. В треугольнике $$\triangle ABC$$:

$$\\( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle BAC = 180^{\circ} - 93^{\circ} - 42^{\circ} = 45^{\circ} \\ )$$ (потому что $$\\( \angle ADC = 93^{\circ} \\ )$$)

4. Теперь найдем $$\\( \angle ABD \\ )$$ в $$\triangle ABD$$. Нам нужно найти $$\\( \angle BDC \\ )$$ или $$\\( \angle BAC \\ )$$

$$\\( \angle BDC = \angle BAC \\ )$$

В $$\triangle BCD$$:

$$\\( \angle BCD + \angle CBD + \angle BDC = 180^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \\ )$$

$$\\( \angle BAC = 180^{\circ} - 87^{\circ} - 42^{\circ} = 51^{\circ} \\ )$$ (неправильно, $$\\( \angle BCA \\ )$$ неизвестен)

Давайте использовать другой подход:

$$\\( \angle BAC \\ )$$ и $$\\( \angle BDC \\ )$$ опираются на одну хорду BC, поэтому $$\\( \angle BAC = \angle BDC \\ )$$

$$\\( \angle CAD \\ )$$ и $$\\( \angle CBD \\ )$$ опираются на одну хорду CD, поэтому $$\\( \angle CBD = \angle CAD = 42^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle ABD \\ )$$ и $$\\( \angle ACD \\ )$$ опираются на одну хорду AD, поэтому $$\\( \angle ABD = \angle ACD \\ )$$

В $$\triangle ABC$$:

$$\\( \angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle BCA = 180^{\circ} - 87^{\circ} - \angle BCA = 93^{\circ} - \angle BCA \\ )$$

В $$\triangle ABD$$:

$$\\( \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = 180^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 42^{\circ} + \angle CAB \\ )$$

$$\\( \angle BDA = \angle BDC + \angle CDA \\ )$$ (неправильно, $$\\( \angle BDA \\ )$$ это $$\\( \angle ADC \\ )$$)

$$\\( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 87^{\circ} = 93^{\circ} \\ )$$

В $$\triangle ABC$$:

$$\\( \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - 87^{\circ} = 93^{\circ} \\ )$$

Мы знаем $$\\( \angle CAD = 42^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle BAC = \angle BDC \\ )$$

$$\\( \angle CBD = \angle CAD = 42^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle ABD = \angle ACD \\ )$$

В $$\triangle ABC$$: $$\\( \angle BAC = 180 - 87 - \angle BCA \\ )$$

В $$\triangle ADC$$: $$\\( \angle ACD + \angle CAD + \angle ADC = 180^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle ACD + 42^{\circ} + 93^{\circ} = 180^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle ACD + 135^{\circ} = 180^{\circ} \\ )$$

$$\\( \angle ACD = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \\ )$$

Так как $$\\( \angle ABD = \angle ACD \\ )$$:

$$\\( \angle ABD = 45^{\circ} \\ )$$

Ответ: 45