Часть 1. Теоретические вопросы 1. Дайте определение предела функции. Приведите пример. 2. Сформулируйте правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей. 3. Что такое производная функции? Геометрический смысл. 4. Объясните, как найти точки экстремума функции. 5. Дайте определение сочетаний и размещений. В чём разница?

Часть 1. Теоретические вопросы

1. Определение предела функции: Число b называется пределом функции f(x) при x стремящемся к a, если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что из неравенства |x − a| < δ следует неравенство |f(x) − b| < ε.

Пример: lim_x→2 (x²) = 4.

2. Правило Лопиталя: Если пределы функций f(x) и g(x) при x → a равны 0/0 или ∞/∞, то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных: lim_x→a (f(x)/g(x)) = lim_x→a (f'(x)/g'(x)).

3. Производная функции: Производная функции — это скорость изменения функции в данной точке. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции f(x) в точке x₀ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке: f'(x₀) = tan(α).

4. Точки экстремума: Точки экстремума (минимума или максимума) функции находятся среди стационарных точек (где производная равна нулю или не существует) и точек, в которых производная не существует. Для этого исследуют знак производной: если производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума; если с минуса на плюс — точка минимума.

5. Сочетания и размещения:

• Размещения — это соединения, в которых важен порядок элементов. Количество размещений из n элементов по k равно A_n^k = n! / (n-k)!.
• Сочетания — это соединения, в которых порядок элементов не важен. Количество сочетаний из n элементов по k равно C_n^k = n! / (k!(n-k)!).

Разница: В размещениях порядок важен (например, перестановка цифр в числе), а в сочетаниях — нет (например, выбор команды).