3. Исследуйте функцию y = x³ - 3x² на монотонность и экстремумы.

3. Исследование функции на монотонность и экстремумы:

Дана функция: \( y = x^3 - 3x^2 \)

1. Найдем производную функции:

\( y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x \)

2. Найдем стационарные точки (где \( y' = 0 \) или не существует):

\( 3x^2 - 6x = 0 \)

\( 3x(x - 2) = 0 \)

Стационарные точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определим точки экстремума:

• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с '+' на '-', следовательно, это точка максимума. \( y_{max} = 0^3 - 3(0)^2 = 0 \).
• В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с '-' на '+', следовательно, это точка минимума. \( y_{min} = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4 \).

Выводы:

• Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \).
• Функция убывает на интервале \( (0, 2) \).
• Точка максимума: \( (0, 0) \).
• Точка минимума: \( (2, -4) \).