C1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 3 sin x на промежутке \( [-\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}] \).

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( y = 3 \sin x \) на заданном промежутке \( [-\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}] \), нужно найти значения функции в критических точках (если они попадают в промежуток) и на концах промежутка.

1. Найдем производную функции: \( y' = (3 \sin x)' = 3 \cos x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3 \cos x = 0 \) \( \implies \cos x = 0 \).
3. Корни уравнения \( \cos x = 0 \) — это \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.
4. Проверим, попадают ли эти критические точки в наш промежуток \( [-\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}] \):
• \( x = \frac{\pi}{2} \) (при \( k=0 \)). Этот корень находится в промежутке, так как \( -0.785 \le 1.57 \le 2.09 \).
• \( x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \) (при \( k=1 \)). Этот корень не попадает в промежуток.
• \( x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \) (при \( k=-1 \)). Этот корень не попадает в промежуток.
5. Вычислим значения функции в критической точке \( x = \frac{\pi}{2} \) и на концах промежутка \( x = -\frac{\pi}{4} \) и \( x = \frac{2\pi}{3} \):
• \( y(-\frac{\pi}{4}) = 3 \sin(-\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \)
• \( y(\frac{\pi}{2}) = 3 \sin(\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot 1 = 3 \)
• \( y(\frac{2\pi}{3}) = 3 \sin(\frac{2\pi}{3}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
6. Сравним полученные значения:
• \( -\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx -3 \cdot \frac{1.414}{2} \approx -2.121 \)
• \( 3 \)
• \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3 \cdot 1.732}{2} \approx 2.598 \)
7. Наибольшее значение равно 3, наименьшее — \( -\frac{3\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 3, наименьшее — \( -\frac{3\sqrt{2}}{2} \).