B2. Найти все корни уравнения 1 - 2 cos x = 0, принадлежащие промежутку \( [0, 2\pi] \).

Решение:

Решим уравнение \( 1 - 2 \cos x = 0 \).

\( 1 = 2 \cos x \)

\( \cos x = \frac{1}{2} \)

На единичной окружности или по графику функции \( \cos x \) находим значения \( x \), для которых \( \cos x = \frac{1}{2} \).

Основная серия решений: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Нам нужно найти корни, принадлежащие промежутку \( [0, 2\pi] \).

Рассмотрим две серии:

1. \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \):
• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \). Этот корень принадлежит промежутку \( [0, 2\pi] \).
• При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит промежутку \( [0, 2\pi] \).
2. \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \):
• При \( k = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит промежутку \( [0, 2\pi] \).
• При \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \). Этот корень принадлежит промежутку \( [0, 2\pi] \).

Таким образом, корни уравнения на заданном промежутке — это \( \frac{\pi}{3} \) и \( \frac{5\pi}{3} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \).