A6. Найдите значение функции y = 3ctg \( \frac{x}{2} \) при x = \( \frac{2\pi}{3} \).

Решение:

Подставим значение \( x = \frac{2\pi}{3} \) в выражение функции:

\( y = 3 \operatorname{ctg} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} \right) \)

Упростим аргумент котангенса:

\( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \)

Теперь вычислим значение котангенса:

\( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) или \( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Наконец, умножим на 3:

\( y = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \)

Рационализируем знаменатель:

\( y = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \).