B5 В прямоугольном треугольнике ABC (∠ABC = 90°) ВН и ВК – высота и медиана соответственно, про- веденные к гипотенузе (см. рис.). Найдите площадь прямоугольного треугольника АВС, если ВК = 7, sin ∠BKH = 5 7

1. Шаг 1: Находим BH.

В прямоугольном треугольнике BKH, где ВК - медиана, равная 7, и sin∠BKH = 5/7, можем найти BH:

\[BH = BK \cdot sin∠BKH = 7 \cdot \frac{5}{7} = 5\]
2. Шаг 2: Находим AH.

Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: BH² = AH \cdot HC. Так как ВК - медиана, то AK = KC = BK = 7, и HC = AK + KC = 7 + 7 = 14.

Тогда:

\[5^2 = AH \cdot 14 \Rightarrow AH = \frac{25}{14}\]
3. Шаг 3: Находим AC.
\[AC = AH + HC = \frac{25}{14} + 14 = \frac{25 + 196}{14} = \frac{221}{14}\]
4. Шаг 4: Находим площадь треугольника ABC.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катета на гипотенузу.

Следовательно, площадь треугольника ABC равна:

\[S = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{221}{14} = \frac{1105}{28}\]

Ответ: \(\frac{1105}{28}\)