5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10√3 см, а острый угол - 30°. Найдите площадь этой трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

В равнобокую трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания трапеции a и b, а боковая сторона c = 10√3. Тогда a + b = 2c = 20√3. Проведем высоты из вершин меньшего основания. Получим два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Угол равен 30 градусам, гипотенуза равна 10√3. Катет, лежащий против угла 30 градусов (высота трапеции) равен половине гипотенузы, то есть h = (10√3)/2 = 5√3. Второй катет, лежащий на большем основании, равен c * cos(30°) = 10√3 * (√3/2) = 15. (a - b)/2 = 15. Откуда (a - b) = 30 a + b = 20√3 Сложив (a+b) и (a-b), получим: 2a = 30 + 20√3, тогда a = 15 + 10√3 Вычтем из (a+b) (a-b), получим: 2b = 20√3 -30, тогда b = 10√3 -15 Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ((a+b)/2)*h S = (20√3 / 2) * 5√3 = 10√3 * 5√3 = 50 * 3 = 150 Ответ: 150 см²