6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Биссектриса угла C пересекает гипотенузу AB в точке D. По условию, AD = 10 см, DB = 30 см. Пусть AC = b, BC = a. Тогда AB = AD + DB = 10 + 30 = 40 см. По свойству биссектрисы треугольника, AD/DB = AC/BC, то есть 10/30 = b/a, или b = a/3. По теореме Пифагора, a² + b² = AB², или a² + (a/3)² = 40². a² + a²/9 = 1600 (9a² + a²) / 9 = 1600 10a² = 1600 * 9 a² = 160 * 9 = 1440 a = √(1440) = 12√10 см b = a/3 = (12√10)/3 = 4√10 см Площадь треугольника равна (1/2) * a * b = (1/2) * 12√10 * 4√10 = 6√10 * 4√10 = 24 * 10 = 240 см². Ответ: 240 см²